圖2-1  質(zhì)量守恒的微元體

將質(zhì)量守恒定律應(yīng)用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續(xù)性方程：

在不穩(wěn)定流動時，流入的流體質(zhì)量與流出的流體質(zhì)量之差應(yīng)等于封閉空間中流體質(zhì)量的變化；而在穩(wěn)定流動時則流入流體質(zhì)量必然等于流出的流體質(zhì)量，其數(shù)學(xué)表達(dá)式即為連續(xù)性方程。在直角坐標(biāo)系中

不穩(wěn)定流動時

（2-1）

穩(wěn)定流動時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續(xù)性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標(biāo)系中

不穩(wěn)定流動時

（2-2）

穩(wěn)定流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續(xù)性方程為

（2-2b）

直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo)之間的換算公式如下：

（2-3）

連續(xù)性方程表示了流體運動時，其速度與密度之間的關(guān)系。

二、能量方程

根據(jù)能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動能，位能（gZ2-gZ1）和內(nèi)能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式則為

（2-4）

其微分形式為

（2-4a）

式中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性流體運動方程

根據(jù)牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學(xué)基本方程之一，在直角坐標(biāo)系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組中左邊*項為單位質(zhì)量力；左邊第二項為壓力，第三項為摩擦力，合稱為表面力；右邊為慣性力。

在柱坐標(biāo)系中則表示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直角坐標(biāo)拉普拉斯算子

一柱坐標(biāo)用拉普拉斯算子；

一歐拉系數(shù)。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標(biāo)為

（2-6）

對于柱坐標(biāo)系則表示為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續(xù)性方程共有四個方程式，當(dāng)邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數(shù)ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環(huán)間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。